フィボナッチ数列の一般項の求め方

TeX記法なるものを知った。

触ってみたら案外面白かったので、使い方の復習がてらフィボナッチ数列の一般項の求め方を記事にしてみることにする。

フィボナッチ数列とは

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ....$

のように、前の2つの項の和が次の項になるような数列である。

漸化式を解いて一般項を導出してみる。

漸化式に表すと

$\displaystyle \Large a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \\\ \\\ a_{1} = 1, a_{2} = 1$

こんな感じになる。

この漸化式の特性方程式は

$\displaystyle \ x^2 = x + 1$

（尚、今回は特性方程式についての説明はしない。）

これを解くと

$\displaystyle \normalsize x = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$

である。
この2つの解をα、βに置き換える。

$\displaystyle \normalsize \alpha = \frac{1 + \sqrt5}{2}, \beta = \frac{1 - \sqrt5}{2}$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（順不同）

特性解を求めたので、漸化式は次のように変形できる。

$\displaystyle \normalsize \begin{align*} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_{n}) \cdots (1)\\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_{n}) \cdots (2) \end{align*}$

$a_{n+1} - \alpha a_{n}$ を一つの数列 $A_{N}$ とみなすと、(1)は

$\displaystyle \normalsize A_{N+1} = \beta A_{N}$

となり、すなわち数列 $A_{N}$ は、公比βの等比数列であることがわかる。

また、nに1を代入すると、 $a_{1} = 1, a_{2} = 1$ より

$\displaystyle \normalsize a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (1 - \alpha)$

即ち

$\displaystyle \normalsize \begin{align*} A_{1} &= 1 - \alpha \\ A_{2} &= \beta (1 - \alpha) \end{align*}$

となり、公比数列の公式から最終的には

$\displaystyle \normalsize a_{n+1} - \alpha a_{n} = (1 - \alpha) \beta ^ {n-1} \cdots (3)$

とおける。

(2)も同様に計算すると

$\displaystyle \normalsize a_{n+1} - \beta a_{n} = (1 - \beta) \alpha ^ {n-1} \cdots (4)$

ここで、(4) - (3)としてみると

$\displaystyle \normalsize (\alpha - \beta) a_{n} = (1 - \beta) \alpha ^ {n-1} - (1 - \alpha) \beta ^ {n-1} \cdots (5)$

また、α + β の値は

$\displaystyle \normalsize \begin{align*} \alpha + \beta &= \frac{1 + \sqrt5}{2} + \frac{1 - \sqrt5}{2} \\ &= 1 \end{align*}$

となるため

$\displaystyle \normalsize \begin{align*} 1 - \alpha &= \beta \\ 1 - \beta &= \alpha \end{align*}$

が成り立つ。

これを(5)に代入すると、以下のようになる。

$\displaystyle \normalsize (\alpha - \beta) a_{n} = \alpha ^ {n} - \beta ^ {n} \cdots (6)$

$\alpha - \beta = \sqrt{5}$ となるので、α、βの値とともに(6)に代入すると

$\displaystyle \Large a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Biggl \{ (\frac{1 + \sqrt5}{2}) ^ {n} - (\frac{1 - \sqrt5}{2}) ^ {n} \Biggr \}$

となる

クソ蟲の嘯き

愚痴と語りと備忘録

フィボナッチ数列の一般項の求め方

フィボナッチ数列とは

漸化式を解いて一般項を導出してみる。

以上によってフィボナッチ数列の一般項が得られた。